quelles valeurs faut-il donner a m pour le trinôme mx2+(m-1)x+m-1 soit negatif quel que soit x?

Il faut que la parabole soit sous l'axe des abscisses et que mx²+(m-1)x+m-1=0 n'est aucune solution.
Il faut nécessairement que m<0 parabole tournée "vers le bas".
Pour que le trinome n'ai pas de racine il faut que le discriminant soit <0
Soit que (m-1)²-4m(m-1) < 0
Donc m²-2m+1-4m²+4m=2m-3m²+1<0
On cherche donc les racines de -3m²+2m+1
Δ=2²+4*3*1=16
√Δ=4
Les racines sont m1=(-2+4)/(-6)=-1/3 et m2=(-2-4)/(-6)=1
Comme le coefficient de m² est <0 on en déduit le tableau de signe de -3m²+2m+1
m                      -∞                      -1/3                        1                    +∞
-3m²+2m+1                      -                          +                      -
Donc -3m²+2m+1<0 si m ∈ ]-∞;-1/3[U]1;+∞[
Comme m doit être <0
la solution est m∈ ]-∞;-1/3[