URGENT SVP Exercice 6 : ABC est un triangle, I J et K sont les milieux respectifs des côtés [CB], [AC] et [AB]. Démontrer que vecteur AK = vecteur JI Simplifier

Les triangles ABC et  JIC sont semblables.  car:
   AC || JC,            BC  ||  IC  ,   l'angle ACB est commun.
   et   les rapports des cotés :  AC/JC  =  BC/IC  =  2

     Par la théorème de Thalle,    AB/JI = AC/JC=BC/IC = 2
     AB = 2 JI = 2 AK    =>  JI = AK.  ---- (1)

 Car  les triangles sont semblables, AB || JI  => AK || JI    --- (2)

  donc, par  (1) et (2) ,  vecteur AK = vecteur JI
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On peut prouver aussi que
          vecteur BI = vecteur KJ = vecteur IC     et
          vecteur  BK = vecteur IJ = vecteur KA
           vecteur AJ = vecteur JC = vecteur KI

  vecteur AI   =  vecteur AJ + vecteur JI        -- (3)
  vecteur BJ  =  vecteur BK + vecteur KJ = vec IJ + vec KJ    -- (4)
  vecteur CK =  vecteur CI + vecteur IK = vec JK + vec IK  -- (5)

par (3), (4) et (5) :

 vec AI + vec BJ + vec CK =
     = (vec AJ + vec JK) + (vec JI + vec IJ) + (vec KJ + vec IK)
     = vec AK + 0 + vec KJ + vec IK
     = vec AJ + vec IK
     = vec AJ - vec KI  = vec AJ - vec AJ
     = 0