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Question

Bonjour,(15 points) j'aurais besoin de votre aide pour cette exo ? c'est possible ? merci beaucoup :)

exo:
Soit a un nombre réel fixé. Soit u la suite définie par u1=a et un+1=(4/10)-(3/10)un  pour tout n ≥1

et v la suite définie par vn=13un-4 pour tout entier naturel n≥1.

a) Montrer que v est une suite géométrique dont on précisera la raison et le 1er terme.
b) Exprimer vn en fonction de n et de a.
c) Montrer que pour tout n≥1, un=(4/13)+[a-(4/13)]*(-3/10)^n-1

Bonjour,(15 points) j'aurais besoin de votre aide pour cette exo ? c'est possible ? merci beaucoup :) exo: Soit a un nombre réel fixé. Soit u la suite définie p

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1 Réponse

  • a) Pour tt n>=1
    [tex]v_{n+1}=13u_{n+1}-4=13(\dfrac{4}{10}-\dfrac{3}{10}u_n)-4=13(\dfrac{4}{10}-\dfrac{3}{10}(\dfrac{v_n+4}{13}))-4[/tex]
    Après simplifications:
    [tex]v_{n+1}=-\dfrac{3}{10}v_n[/tex]

    [tex]v_1=13u_1-4=13a-4[/tex]

    b) D'après la formule d'une suite géométrique
    [tex]v_n=v_1 \times (-\dfrac{3}{10})^{n-1}[/tex]
    [tex]v_n=(13a-4) \times (-\dfrac{3}{10})^{n-1}[/tex]


    c) Pour tt n>=1
    [tex]u_n=\dfrac{4}{13} +\dfrac{1}{13}v_n[/tex]
    [tex]u_n=\dfrac{4}{13} +\dfrac{1}{13}(13a-4) \times (-\dfrac{3}{10})^{n-1}[/tex]


    [tex] \lim_{n \to \infty} (-\dfrac{3}{10})^{n-1}=0[/tex]
    [tex] \lim_{n \to \infty} v_n =\dfrac{4}{13}[/tex]




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