Calculer les deux intégrales définies suivantes: intégrale (de borne 1;2)e^-x/1-e^-x , intégrale (borne 2;4) lnx/x^3. Calculer en fonction de r le quart de la

Pour le 1er c'est une application directe (de la forme u'/u)
[tex]A= \int\limits^2_1 { \frac{e^{-x}}{-e^{-x}} } \, dx\\\\A=[ln|(-e^{-x})|]^2_1\\\\A=[ln(e^{-x})]^2_1\\\\A=ln(e^{-2})-ln(e^{-1})\\\\ A=-ln(e^2)+ln(e^1)\\\\ A=-2+1\\\\A=-1[/tex]

Pour la 2ème intégrale on va faire une intégration par partie
On pose :
[tex] \left \{ {{u=ln(x)} \atop {v'=x^{-3}}} \right. \Longleftrightarrow \left \{ {{u'=1/x} \atop {v=- \frac{1}{2}x^{-2} }} \right.\\\\ B= \int\limits { \frac{ln(x)}{x^3} } \, dx \\\\ B= {- \frac{1}{2}x^{-2}ln(x)- \int\limits { \frac{1}{x}\times(- \frac{1}{2}x^{-2}) } \, dx } \\\\ B= - \frac{1}{2}x^{-2}ln(x)+ \frac{1}{2} \int\limits {x^{-3}} \, dx \\\\ B=- \frac{1}{2}x^{-2}ln(x) + \frac{1}{2}\times(- \frac{1}{2}x^{-2})+C \ \ \ C \in\mathbb{R}\\\\ B=- \frac{1}{2}x^{-2}ln(x)- \frac{1}{4}x^{-2} +C[/tex]
[tex]B= \frac{-1}{4x^2}(2ln(x)+1)+C\\\\ \int\limits^4_2 { \frac{ln(x)}{x^3} } \, dx = \int\limits^4_2 { \frac{-1}{4x^2}(2ln(x)+1)} \, dx \\\\ \int\limits^4_2 { \frac{ln(x)}{x^3} } \, dx = \frac{-1}{4\times 4^2}(2ln(4)+1)-( \frac{-1}{4
\times 2^2}(2ln(2)+1))\\\\ \int\limits^4_2 { \frac{ln(x)}{x^3} } \, dx = \frac{ln(2)}{16}+ \frac{3}{64} [/tex]

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L'aire d'un disque est donné par la formule : 
[tex]Aire=\pi\times r^2[/tex]

on en déduit que :
[tex] \frac{1}{4}Aire= \frac{1}{4}\pi\times r^2 [/tex]