ABC est un triangle rectangle en C. O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC; Le cercle de diamètre [BO] recoupe le segment [BC] en D. Démontrer qu

Bonsoir Charlottedelbe2 

Notre objectif pour résoudre cet exercice est d'utiliser la réciproque du théorème de Thalès dans le triangle ABC.

La figure est en pièce jointe.

Le triangle ABC est rectangle en C ==> la droite (AC) est perpendiculaire à la droite (CB)

Les triangle ODB est rectangle en D car il est inscrit dans un cercle et le côté [OB] en est le diamètre ==>  la droite (OD) est perpendiculaire à la droite (CB)

Nous en déduisons que les droites (AC) et (OD) sont parallèles puisqu'elles sont perpendiculaires à une même droite (CB).

Utilisons la réciproque du théorème de Thalès dans le triangle ABC sachant que (AC) est parallèle à (OD).

[tex]\dfrac{AB}{OB}=\dfrac{CB}{DB}=\dfrac{AC}{OD}[/tex]

Ne retenons de ces égalités que la suivante : 

[tex]\dfrac{AB}{OB}=\dfrac{CB}{DB}[/tex]

AB est la mesure d'un diamètre du cercle et OB est la mesure d'un rayon de ce même cercle.

==> [tex]AB = 2\times OB[/tex]

soit  [tex]\dfrac{AB}{OB} = 2[/tex]

D'où

[tex]\dfrac{AB}{OB}=\dfrac{CB}{DB}\Longleftrightarrow 2=\dfrac{CB}{DB}\\\\\Longleftrightarrow 2\times DB=CB\\\\\Longleftrightarrow \boxed{CB=2\times DB}[/tex]

Puisque CB=2 x DB et que les points C, D, B sont alignés et dans cet ordre, nous en déduisons que le point D est le milieu du segment [BC].