Déterminer tous les entiers x, y et z strictement positifs tels [tex] \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1 [/tex]

Les inconnues étant interchangeables on suppose par commodité que x≤y≤z
On a nécessairement x≥2 car si x=1 on a 1/y+1/z=0 ce qui est impossible car y et z sont >0
De même, on ne peut pas avoir 2 fois le nombre 2 dans le triplé car sinon on aurait 1/z=0 ce qui et impossible.
Enfin si z=7, on a 1/x+1/y=6/7
Or le plus grand nombre que l'on peut obtenir avec 1/x+1/y est 1/2+1/3<6/7 donc il n'y a pas de solution avec des nombres entiers ≥7
On a donc :
2≤x≤y≤z≤7
Si z=2, alors nécessairement x=y=z=2 ce qui est impossible.
Si z=3, alors on a la solution x=y=z=3
Si z=4:
Avec y=4 on a la solution 1/2+1/4+1/4=1 soit le triplet (2;4;4)
Avec y=3 on a 1/x=1-1/4-1/3=5/12 impossible
Si z=5:
Avec y=5 on a 1/x=3/5 impossible
Avec y=4 on a 1/x=11/20 impossible
Avec y=3 on a 1/x=7/15 impossible
Si z=6:
Avec y=6 on a 1/x=2/3 impossible
Avec y=5 on a 1/x=19/30 impossible
Avec y=4 on a 1/x=7/12 impossible
Avec y=3 on a 1/x=1/2 donc x=2 et on a la solution (2;3;6)
On a donc 2 triplets possibles (2;4;4) et (2;3;6)
Soit en opérant les permutations :
(2;4;4) / (4;2;4) / (4;4;2)
(2;3;6) / (2;6;3) / (3;2;6) / (3;6;2) / (6;2;3) / (6;3;2)