Comment faut-il choisir un point M du plan pour que ses projections orthogonales sur les quatre côtés d’un losange soient cocycliques ?

On note O le centre d’un losange ABCD. Soit M un point du plan. On note respectivement M1, M2, M3 et M4 les projetés orthogonaux de M sur (AB), (CD), (BC) et (AD). La nature du problème impose qu’au moins trois de ces points soient distincts.

Si les quatre points sont cocycliques, il existe alors un unique point O’ qui est le centre du cercle circonscrit à ces quatre points. On a en particulier O’M1 = O’M2 et donc O’ se situe sur la médiatrice du segment [M1M2]. De même O’M3 = O’M4, et O’ se situe aussi sur la médiatrice du segment [M3M4]. O’ est donc confondu ave le centre O du losange. En fait on doit avoir OM1 = OM2 = OM3 = OM4.

Les triangles OM1M2 et OM3M4 sont deux triangles isocèles isométriques (ces deux triangles peuvent tous deux dégénérer en deux segments de même longueur dont O est le milieu commun quand M est en O). Si on note I le milieu de [M1M2] et J le milieu de [M3M4], on a alors OI = OJ. Si M n’est pas en O, les deux triangles rectangles OIM et OJM existent et sont isométriques. M est donc placé sur la bissectrice de IOJ.

M peut finalement se situer sur une des deux droites portant les diagonales du losange. Inversement, si M est situé sur une des droites portant les diagonales du losange, y compris en O, on a facilement que les quatre points M1, M2, M3 et M4 sont sur un même cercle centré en O.