Trouver les deux derniers chiffres de 2^222

Bonjour Effaceurfallenprince 

Nous allons d'abord regarder les premières puissances de 2 et observer les deux derniers chiffres.
Ces puissances de 2 sont : 
[tex]2^0=1=01\ ;\ 2^1=2=02\ ;\ 2^2=4=04\ ;\ 2^3=8=08\ ;\ 2^4=16\ ;\ \\\\2^5=32\ ;\ 2^6=64\ ;\ 2^7=128\ ;\ 2^8=256\ ;\ 2^9=512\ ;\ 2^{10}=1024\ ;\ \\\\2^{11}=2048\ ;\ 2^{12}=4096\ ;\ ...\ ;\ 2^{22}=4194304\ ;\ 2^{23}=8388608\\\\2^{24}=16777216\ ;\ ...[/tex]

Nous remarquons qu'il faut aller jusqu'à l'exposant 22 pour retrouver un couple de deux derniers chiffres déjà rencontré.

[tex]2^2=04\ et\ 2^{22}=4194304[/tex] ==> les nombres se terminent par 04
[tex]2^3=08\ et\ 2^{23}=8388608[/tex] ==> les nombres se terminent par 08.
[tex]2^4=16\ et\ 2^{24}=16777216[/tex] ==> les nombres se terminent par 16.

La période de cette suite de puissances est 22-2 = 23-3 = 24-4 = 20.

Or 222 est un multiple de 20 augmenté de 2 car 222 = 220 + 2
                                                                            = 11 x 20 + 2.

Donc, les deux derniers chiffres de [tex]2^{222}[/tex] sont les mêmes que ceux de [tex]2^2[/tex], soit 04.

Les deux derniers chiffres de [tex]2^{222}[/tex] sont 04.