Le plan est muni d’un repère orthonormé. Existe-t-il un triangle équilatéral dont les coordonnées sont des nombres entiers ?

Bonsoir Masticottestasdu8159 

Montrons que de tels triangles n'existent pas.
Considérons le plan complexe et deux sommets A et B respectivement d'affixes a et b tels que [tex]\Re(a), \Im(a), \Re(b), \Im(b)[/tex]  soient des entiers.
Si le triangle ABC était équilatéral direct, alors le sommet C (d'affixe c) serait l'image de B pour la rotation de centre A(a) et d'angle [tex]\dfrac{\pi}{3}[/tex]

Nous avons alors : 

[tex]c=(b-a)e^{i\dfrac{\pi}{3}}+a\\\\c=(b-a)[\cos(\dfrac{\pi}{3})+i\sin(\dfrac{\pi}{3})]+a\\\\c=(b-a)(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2})+a\\\\c=\dfrac{1}{2}(b-a)+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}(b-a)+a\\\\c=\dfrac{1}{2}b-\dfrac{1}{2}a+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}(b-a)+a\\\\c=\dfrac{1}{2}b+\dfrac{1}{2}a+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}(b-a)[/tex]

[tex]c=\dfrac{1}{2}(b+a)+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}(b-a)[/tex]

[tex]\Im(c)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}(b-a)[/tex] ne pourra jamais être un nombre entier car c'est le produit du nombre entier (b-a) par un irrationnel [tex]\dfrac{\sqrt{3}}{2}[/tex].

Donc l'ordonnée du point C ne sera jamais un nombre entier.

Par conséquent, dans un repère orthonormé, il n'existe pas de triangle équilatéral dont les coordonnées sont des nombres entiers,