on se propose de résoudre l'équation différentielle (E): y'-2y-2(e2x-1) 1) montrer que la fonction h définie sur IR par: h(x)= 2xe2x+1 est solution de (E) 2) a_
Mathématiques
edwigekamou
Question
on se propose de résoudre l'équation différentielle (E): y'-2y-2(e2x-1)
1) montrer que la fonction h définie sur IR par: h(x)= 2xe2x+1 est solution de (E)
2) a_ on pose y = z+h. montrer quey est solution de (E) si et seulement si z est solution de (E'):y'-2y=0
b_ Résoudre (E') et en déduire les solutions de (E)
3) Déterminer la solution de (E) qui s'annule en 0
1) montrer que la fonction h définie sur IR par: h(x)= 2xe2x+1 est solution de (E)
2) a_ on pose y = z+h. montrer quey est solution de (E) si et seulement si z est solution de (E'):y'-2y=0
b_ Résoudre (E') et en déduire les solutions de (E)
3) Déterminer la solution de (E) qui s'annule en 0
1 Réponse
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1. Réponse slyz007
1) h'(x)=2e^(2x)+4xe^(2x)
Donc h'-2h-2(e^2x-1)=2e^(2x)+4xe^(2x)-4xe^(2x)-2-2e^(2x)+2=0
Donc h est bien solution de (E)
2a) y=z+h est solution de (E)
⇔(z+h)'-2(z+h)-2(e^(2x)-1)=0
⇔z'+h'-2z-2h-2(e^(2x)-1)=0
⇔z'-2z+(h'-2h-2(e^(2x)-1))=0
⇔z'-2z=0 car h est solution de E
2b) (E') est une équation différentielle linéaire d'ordre 1 à coefficients constants sans second membre. Donc les solutions de (E') sont les fonction ke^2x où k est une constante quelconque.
On en déduit que les solutions de (E) sont les fonctions ke^(2x)+h
Soit f(x)=ke^(2x)+2xe^(2x)+1
3) f(0)=0 soit k+1=0 donc k=-1
Donc f(x)=-e^(2x)+2xe^(2x)+1