Donner la matrice de l'application linéaire suivante, ainsi que son noyau et son image: [tex] \left \ u:{{R ^{3} -\ \textgreater \ R ^{2}} \atop {u(x,y)=(x+y,

Soit M la matrice :
[tex]M= \left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\-2&1&1\end{array}\right] [/tex]

Pour trouver le noyau, on résous :
 [tex] \left \{ {{x+y=0} \atop {-2x+y+z=0}} \right. \Longleftrightarrow \left \{ {{x=z/3} \atop {y=-z/3}} \atop {z=z}\right. \\\\ Ker(u)=\{z/3;-z/3;z)\}=\{z(1/3;-1/3;1)\}=Vect((1/3;-1/3;1))[/tex]

On cherche l'image:
On sait que la dimension d'une droite vectoriel est 1.

D'après le théorème du rang : 
dim (R^3) = dim(Ker(u)) + dim(Im(u))
dim (Im(u)) = dim(R^3) - dim(Ker(u))
dim(Im(u)) = 3 - 1
dim(Im(u)) = 2

Im(u) est donc un espace de dimension 2 : [tex]Im(u)=\mathbb{R}^2[/tex]