Un drapeau a la forme d’un triangle équilatéral. Il est suspendu par deux de ses sommets en haut de mâts verticaux de 3 et 4 mètres. Le 3ème sommet affleure exa

Bonsoir CaptainBirdMaryne542

Les explications sont basées sur la figure donnée en pièce jointe.

Triangle équilatéral ABC
Mâts : AD = 3 et CE = 4
Sol : (DE)
B appartient à (DE).
(BM) : hauteur du triangle ABC issue de B.
H est la projection orthogonale de M sur (DE)
F est la projection orthogonale de A sur (CE)

Les triangles MHB et AFC sont semblables car leurs côtés sont perpendiculaires deux à deux.

Côtés du triangle MHB :
MH = (AD + CE)/2
      = (3 + 4)/2
MH = 7/2

Côtés du triangle AFC :
AC = x
CF = CE-FE = CE-AD = 4-3 = 1 ==> CF = 1
Par Pyhtagore dans le triangle AFC rectangle en F,
[tex]AF^2+CF^2=AC^2\\AF^2+1^2=x^2\\AF^2+1=x^2\\AF^2=x^2-1\\\\AF=\sqrt{x^2-1}[/tex]

[BM] est la hauteur d'un triangle équilatéral de côté x

==> [tex]BM=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}[/tex]

Dans le triangle MHB rectangle en H,

[tex]\cos(\widehat{BMH})=\dfrac{MH}{MB}\\\\\cos(\widehat{BMH})=\dfrac{\dfrac{7}{2}}{\dfrac{x\sqrt{3}}{2}}\\\\\\\boxed{\cos(\widehat{BMH})=\dfrac{7}{x\sqrt{3}}}[/tex]

Dans le triangle AFC rectangle en F,

[tex]\cos(\widehat{CAF})=\dfrac{AF}{AC}\\\\\boxed{\cos(\widehat{CAF})=\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x}}[/tex]

Or les angles BMH et CAF ont la même mesure puisque es triangles MHB et AFC sont semblables.

Par conséquent, 

[tex]\dfrac{7}{x\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x}\\\\\\7x=x\sqrt{3}\sqrt{x^2-1}\\\\\dfrac{7}{\sqrt{3}}=\sqrt{x^2-1}\\\\(\dfrac{7}{\sqrt{3}})^2=(\sqrt{x^2-1})^2\\\\x^2-1=\dfrac{49}{3}[/tex]

[tex]x^2=\dfrac{49}{3}+1\\\\x^2=\dfrac{49}{3}+\dfrac{3}{3}\\\\x^2=\dfrac{52}{3}[/tex]

Or x est positif.

Par conséquent 

[tex]\boxed{x=\sqrt{\dfrac{52}{3}}}[/tex]

La longueur du côté du drapeau est égale à  [tex]\sqrt{\dfrac{52}{3}}\ m\grave{e}tres \approx4,16\ m\grave{e}tres [/tex]